\documentclass[a4paper]{ctexart} %CTEX报告文章格式\usepackage[top=3cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} % 页边距\usepackage{amsmath} %数学公式\usepackage{amsthm}%\usepackage{longtable} %长表格\usepackage{graphicx} %图片\usepackage{tikz} %画图\usepackage{cite}\usepackage{listings}\usepackage{amsfonts}\usepackage{subfigure}\usepackage{
   float}%\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,hyperindex,CJKbookmarks,dvipdfm]{hyperref}\lstset{language=Mathematica}%这条命令可以让LaTeX排版时将Mathematica键字突出显示\lstset{extendedchars=false}%这一条命令可以解决代码跨页时，章节标题，页眉等汉字不显示的问题\usetikzlibrary{shapes,arrows} %tikz图形库\usepackage{overpic} %图上标记\usepackage{ccaption} %中英文题注%\usepackage[numbers,sort&compress]{natbib} %参数代表：数字和排序与压缩%\bibliographystyle{GBT7714-2005NLang} %参考文献格式设为GBT7714-2005N.bst%\usepackage[draft=false,colorlinks=true,CJKbookmarks=true,linkcolor=black,citecolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} %参考文献跳转，此宏包会自动载入graphicx\usepackage{textcomp} %摄氏度符号%\usepackage{ccmap} %pdf中文复制%\usepackage{myfont} %字体\usepackage{color} %gnuplot彩色文字%\usepackage{texshade} %texshade，此宏包与graphicx冲突，故放最后% \usepackage{indentfirst}% \setlength{\parindent}{2em}%\makeatletter%%\renewcommand{\chapter} {\endgraf%%   \thispagestyle{empty}           % Page style of chapter page is 'plain'%%   \global\@topnum\z@              % Prevents figures from going at top of page.%%   \@afterindenttrue               % Inserts indent in first paragraph.  Change%%   \secdef\@chapter\@schapter}     % to \@afterindentfalse to remove indent.%\makeatother%\renewcommand{\textfraction}{0.15}%\renewcommand{\topfraction}{0.85}%\renewcommand{\bottomfraction}{0.65}%\renewcommand{\floatpagefraction}{0.60}%\author{陆嵩}\begin{document}%\CTEXoptions[contentsname={\bfseries\zihao{4} 目\quad 录}]%%\CTEXsetup[nameformat+={\zihao{3}}]{chapter}%%\CTEXsetup[titleformat+={\zihao{3}}]{chapter}%\CTEXsetup[number={\arabic{chapter}}]{chapter}%\CTEXsetup[name={,}]{chapter}%\CTEXsetup[format={\zihao{4}}]{section}%\CTEXsetup[format={\bfseries\zihao{4}}]{subsection}%\CTEXsetup[format={\bfseries\zihao{-4}}]{paragraph}%%\CTEXsetup[beforeskip={0em}]{paragraph}%\CTEXsetup[beforeskip={0pt}]{chapter}%\CTEXsetup[afterskip={2em}]{chapter}%%\CTEXsetup[afterskip={0pt}]{subsection}%%\captionwidth{0.8\textwidth}%%\changecaptionwidth%\thispagestyle{empty}%%%\pagestyle{plain}%%\newpage%\setcounter{page}{1}%\pagenumbering{Roman}%\noindent\addcontentsline{toc}{section}{摘要}\begin{center}\zihao{3}\textbf{15级计算机科学与技术二班\\优良学风创建情况报告}\end{center}\begin{center}\zihao{5}\textbf{郑州大学\ 数学与统计学院 \ 信息与计算科学 \ 陆嵩}\end{center}\begin{center}\zihao{4}\textbf{摘要}\quad\zihao{-4}\end{center}\vspace{1em}%\noindent\zihao{4}\textbf{关键词}\quad\zihao{-4} 最小旋转曲面；Mathematica；样条插值；变分法%\tableofcontents\setcounter{page}{1}\pagenumbering{arabic}\pagestyle{headings}5.5到5.8节主要介绍了了多项式求根和一些典型的求根方法。其中有很多我们想不到的方法。比如说，正如我们看到的，Bauer（1956）、Jenkins和Traub（1970）、Nickel（1966）以及Henrici（1974），这些人提到了一些。我们确定一般多项式的根的一般方法的重要性有时会被评价过高。在实际应用中的多项式大部分会以一种特定的形式给定，比如说，特征多项式就是这样。之后，你将学习到，多项式的根就是矩阵的特征值，进一步，我们将在第六章详细描述这个方法。我们将详细讲述牛顿方法在寻找给定多项式$p(x)$的根方面的应用。为了评价牛顿迭代方程，\[{x_{k{\rm{ + }}1}}: = {x_k} - \frac{
   {p({x_k})}}{
   {p'({x_k})}}\]我们不得不计算多项式以及多项式一阶导在点$x=x_k$ 处的值。假定多项式以下列的形式给出\[p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}\]那么$p(x_k)$和$p'(x_k)$可用如下方法计算：对于$x = \xi $,\[p(\xi ) = ( \cdots (({a_0}\xi  + {a_1})\xi  + {a_2})\xi  +  \cdots )\xi  + {a_n}\].对于在这个表达式中乘数$\xi$，可用如下的递归格式\begin{equation}\label{5.5.1}\begin{array}{l}{b_0}: = {a_0}\\{b_i}: = {b_{i - 1}}\xi  + {a_i},i = 1,2,...,n.\end{array}\end{equation}多项式$p$在$\xi$出的值可以这样给定：\[p(\xi ) = {b_n}\]通过递归式子(\ref{5.5.1})评估多项式的算法被称作 Horner方法。我们所能得到的$b_i$的量，也正是以下多项式的的系数\[{p_1}(x): = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}\]用$x-\xi$去除$p(x)$，我们能得到：\begin{equation}\label{5.5.2}p(x) = (x - \xi )p{}_1(x) + {b_n}\end{equation}这通过比较式(ref{5.5.2})两边的系数，很容易被证实。进一步，对式(ref{5.5.2})关于$x$两边求导，并让$x=\xi$,我们得到\[p'(\xi ) = {p_1}(\xi )\]因此，一阶导数$p'(\xi)$能通过重复使用Horner方法来确定，用前一个的结果来做后一个式子的系数。\[p'(\xi ) = ( \cdots ({b_0}\xi  + {b_1})\xi {\rm{ + }} \cdots )\xi  + {b_{n - 1}}\]通常地，多项式$p(x)$一般是以除此之外的其他一些格式给出的，\[p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}\]特别重要一种情况是，$p(x)$正好是三对角矩阵的特征多项式\[J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{
    {\alpha _1}}&{
    {\beta _2}}&{}&0\\{
    {\beta _2}}& \ddots & \ddots &{}\\{}& \ddots & \ddots &{
    {\beta _n}}\\0&{}&{
    {\beta _n}}&{
    {a_n}}\end{array}} \right]\]其中，${\alpha _i},{\beta _i}$是实数。也就是说，多项式是特征矩阵\[{p_i}(x) = \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{
    {\alpha _1} - x}&{
    {\beta _2}}&{}&0\\{
    {\beta _2}}& \ddots & \ddots &{}\\{}& \ddots & \ddots &{
    {\beta _i}}\\0&{}&{
    {\beta _i}}&{
    {a_i} - x}\end{array}} \right]} \right)\]原则上的顺序主子式。我们有递推序列:\begin{equation}\begin{array}{l}\label{5.5.3}{p_0}(x): = 1\\{p_1}(x): = ({\alpha _1} - x) \cdot 1\\{p_i}(x): = ({\alpha _i} - x){p_{i - 1}}(x) - {\beta _i}^2{p_{i - 2}}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 2,3, \cdots n.\\p(x): = det(J - xI): = {p_n}(x)\end{array}\end{equation}这些公式能够被用来计算对于任意$x=\xi$的$p(\xi)$，和任意给定的矩阵元素$\alpha_i,\beta_i$。类似地，我们通过对式(\ref{5.5.3}) 求导，可以推得$p'(x)$的递推方程如下：\begin{equation}\label{5.5.4}\begin{array}{l}{p_0}'(x): = 0\\{p_1}'(x): =  - 1\\{p_i}'(x): =  - {p_{i - 1}}(x) + ({\alpha _i} - x)p{'_{i - 1}}(x) - {\beta _i}^2p{
   '_{i - 2}}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 2,3, \cdots n.\\p'(x): = p{
   '_n}(x)\end{array}\end{equation}两个递推公式(\ref{5.5.3})和(\ref{5.5.4})能够同时被计算。通过5.3节对牛顿方法一般性的讨论，我们清楚地知道，当且仅当初始点$x_0$足够接近零点$\xi$的时候，由牛顿方法确定的$x_k$是收敛的。一个糟糕的初始值可能会导致序列$x_k$发散，即使是对多项式也不例外。如果实多项式$p(x)$没有实根（例如：$p(x)=x_2+1$），那么牛顿方法对于任意的实数域内的初始值是不可能收敛的。对于任意的多项式个例，我们没有通用而保险的选取有效初值的方法。但是呢，在一种重要而特别的情况下，我们确实存在一种通用的方法。也就是这种情况，如果所有的根$\xi$是实的($i=1,2,...,n.)$)，并且满足：\[{\xi _1} \ge {\xi _2} \ge  \cdots  \ge {\xi _n}.\]在5.6部分，定理（5.6.5）将向我们证明，那么由式(\ref{5.5.3})定义的多项式在矩阵元素$\alpha_i,\beta_i$是实数的前提下将具备这种属性。\newtheorem{theorem}{Theorem}\begin{theorem}\label{5.5.5}$p(x)$是维度$n \ge 2$的实系数多项式，如果对于所有的根$\xi_i$都是实数，其中，${\xi _1} \ge {\xi _2} \ge  \cdots  \ge {\xi _n}.$那么，牛顿方法对于任意的初值$x_0 \ge \xi_1$,都能产生一个严格递减的序列$x_k$.\end{theorem}\begin{proof}[证明]不失一般性，我们可以假设$p(x_0) > 0$既然$p(x_0)$对于$x>\xi_1$不换号，那么对于任意的$x>\xi_1$我们有，\[p(x) = {a_0}{x^n} +  \cdots  + {a_n} > 0\]因此，我们可以知道$a_0>0$.并且通过罗尔定理，我们知道，导数$p'(x)$有$n-1$个实根，并且\[{\xi _1} \ge {\alpha _1} \ge {\xi _2} \ge {\alpha _2} \ge  \cdots  \ge {\alpha _{n - 1}} \ge {\xi _n}\]因为$p'$的维度是$n-1$且大等于1，上面表示的$\alpha_i$恰好是它全部的根。因$a_0>0$容易推知，对于任意的$x>\alpha_1$，我们有$p'(x)>0$。再次运用罗尔定理，和重新使用条件$n \ge 2$,我们可以知道\begin{equation}\label{5.5.6}\begin{array}{l}p''(x) > 0\;\;\;x > \alpha {}_1\\p'''(x) \ge 0\;\;\;x \ge \alpha {}_1\end{array}\end{equation}因此，对于任意的$x \ge \alpha_1$,$p,p'$都是下凸函数。现在，由于$p'(x_k)>0 ,p(x_k)>0$$x_k>\xi_i$暗示着\[{x_{k + 1}} = {x_k} - \frac{
    {p({x_k})}}{
    {p'({x_k})}} < {x_k}\]现在还有待证明的是，我们用牛顿方法不能“过调”。从式（\ref{5.5.6}）,我们知道$x_k>\xi_1 \ge \alpha_1$，进一步，由泰勒定理，我们可以推导得到\[0 = p({\xi _1}) = p({x_k}) + ({\xi _1} - {x_k})p'({x_k}) + \frac{1}{2}{({\xi _1} - {x_k})^2}p''(\delta ) > p({x_k}) + ({\xi _1} - {x_k})p'({x_k})\;\;\;{\xi _1} < \delta  < {x_k}\]由$x_{k+1}$的定义式，移向我们可以得到$p(x_k)=p'(x_k)(x_k-x_k+1)$，因此，\[0 > p'({x_k})({x_k} - {x_{k + 1}} + {\xi _1} - {x_k}) = p'({x_k})({\xi _1} - {x_{k + 1}})\]再由$p'(x_k)>0$，立得$x_k+1>\xi_1$\end{proof}为了之后的使用，我们注意定理\ref{5.5.6}接下来的结果:\newtheorem{lemma}{Lemma}\begin{lemma}\label{5.5.7}设$p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}>0,$ 是一个维度$n \ge 2$且所有根都是实数的实系数多项式。假如$\alpha_1$是$p'$ 最大的根，那么对于任意的$x \ge \alpha_1$，有$p'''(x) \ge 0$,换言之，对于任意的$x \ge \alpha_1$，$p'$是一个下凸函数。\end{lemma}我们仍然面临一个问题。那就是在事前不知道$\xi_1$ 的前提下，如何寻找一个比$\xi_1$大的初值$x_0$呢？以下的定理可以解决这个问题：\begin{theorem}\label{5.5.8}对任意的一个多项式$p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}$，它的所有根$\xi$都满足：\[\left| {
    {\xi _i}} \right| \le \max \left\{ {\left| {\frac{
    {
    {a_n}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|,1 + \left| {\frac{
    {
    {a_{n - 1}}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|, \cdots ,1 + \left| {\frac{
    {
    {a_1}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|} \right\}\]\[\left| {
    {\xi _i}} \right| \le \max \left\{ {1,\sum\limits_{j = 1}^n {\left| {\frac{
    {
    {a_j}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|} } \right\}\]\[\left| {
    {\xi _i}} \right| \le \max \left\{ {\left| {\frac{
    {
    {a_n}}}{
    {
    {a_{n - 1}}}}} \right|,2\left| {\frac{
    {
    {a_{n - 1}}}}{
    {
    {a_{n - 2}}}}} \right|, \cdots ,2\left| {\frac{
    {
    {a_1}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|} \right\}\]\[\left| {
    {\xi _i}} \right| \le \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {\left| {\frac{
    {
    {a_{j + 1}}}}{
    {
    {a_j}}}} \right|} \]\[\left| {
    {\xi _i}} \right| \le 2\max \left\{ {\left| {\frac{
    {
    {a_1}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|,\sqrt {\left| {\frac{
    {
    {a_2}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|} ,\sqrt[3]{
    {\left| {\frac{
    {
    {a_3}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|}} \cdots ,\sqrt[n]{
    {\left| {\frac{
    {
    {a_n}}}{
    {
    {a_0}}}} \right|}}} \right\}\]\end{theorem}这些差异中的一部分将在6.9节中证明，同时也和Househoder(1970)做一个比较。其他的不同将在Marden(1949)能找到。二次收敛并不意味着快速收敛。如果选取的初值离根非常远的话，那么牛顿方法在开始的时候可能就收敛得非常缓慢。事实上，如果$x_k$足够大，那么\[{x_{k + 1}} = {x_k} - \frac{
    {x_k^n +  \cdots }}{
    {nx_k^{n - 1} +  \cdots }} \approx {x_k}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\]导致在$x_k$和$x_{k+1}$之间变化非常小。这些结果导致我们去寻求更好的“双步法”来代替直接的牛顿方法，如下：\[{x_{k + 1}} = {x_k} - 2\frac{
    {p({x_k})}}{
    {p'({x_k})}}\;\;\;k = 0,1,2, \ldots \]当然，现在我们有了“过调”的风险。特别地，在多项式只有实根，且初值$x_0 \ge \xi_1$的情况下，迭代出的某些$x_{k+1}$可能会越过最大一个根$\xi_1$,从而失去了定理\ref{5.5.5}的优势。但是不要怕，这种“过调”导致的不收敛是可以被消除的。由于多项式的一些优良属性，在上述情况发生的前提下，我们可以找到一个好的新初值$y(\xi_1 \ge > \xi_2)$，接着用牛顿方法进行迭代，最后也能收敛。之后将给出以下定理的结果：\begin{theorem}\label{5.5.9}设$p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}>0,$ 是一个维度$n \ge 2$且所有根都是实数的实系数多项式。并且$p(x)$ 的根排序如下，${\xi _1} \ge {\xi _2} \ge  \cdots  \ge {\xi _n}.$ 另外，假如$\alpha_1$是$p'$最大的根，\[{\xi _1} \ge {\alpha _1} \ge {\xi _2}\]对于$n=2$,我们需要特别要求$\xi_1 \ge \xi_2$，那么对于每一个$z>\xi_1$,一些符号的定义如下：\[z': = z - \frac{
   {p(z)}}{
   {p'(z)}},y: = z - 2\frac{
    {p(z)}}{
    {p'(z)}},y': = y - \frac{
    {p(y)}}{
    {p'(y)}}\]（图\ref{Figure 8}很好地刻画了这个问题），则有以下结论：\[\begin{array}{l}\label{5.5.10}{\alpha _1} < y\\{\xi _1} \le y' \le z'\end{array}\]\begin{figure}[!h]\small\centering\includegraphics[width=12cm]{111.eps}\caption{Geometric interpretation of the double-step method} \label{Figure 8}\end{figure}\end{theorem}容易证明当$n=2$并且$\xi_1=\xi_2$时，也就意味着对于任意的$z>\xi_1$,都有$y=\xi_1$\begin{proof}[证明]再次假设当$z>\xi_1$时，$p(z)>0$。对于这样一个$z$值，我们假设有两个两个量$\Delta_0,\Delta_1$(如图\ref{Figure 8}所示)定义如下：\[{\Delta _0}: = p(z') = p(z') - p(z) - (z' - z)p'(z) = \int_z^{z'} {\left[ {p'(t) - p'(z)} \right]} dt\]\[{\Delta _1}: = p(z') - p(y) - (z' - y)p'(y) = \int_y^{z'} {\left[ {p'(t) - p'(y)} \right]} dt\]当然，这两个量还可以分别地被解释为关于$p'(x)$的图上的两块区域，见图\ref{Figure 9}。\begin{figure}[!h]\small\centering\includegraphics[width=12cm]{222.eps}\caption{The quantities $\Delta_0$ and $\Delta_1$ interpreted as areas} \label{Figure 9}\end{figure}通过引理\ref{5.5.7},$p'(x)$在$x \ge \alpha_1$是个下凸函数。因此，我们知道$z'-y=z-z'>0$(由定理\ref{5.5.5}知道它是正值)，我们可以得到\begin{equation}\label{5.5.11}{\Delta _1} \le {\Delta _0}\;\;\;y \ge {\alpha _1}\end{equation}$\Delta_0=\Delta_1$当且仅当$p'$是线性函数，也就是说$p$是次数为2的多项式。现在我们分为$y>\xi_1,y=\xi_1,y<\xi_1$三种情况来讨论。对于$y>\xi_1$,由定理\ref{5.5.5},立证得。对于$y=\xi_1$,我们首先证明$\xi_2<\alpha_1<\xi_1$,也就是说$\xi_1$是$p$的单根。假如$y=\xi_1=\xi_2=\alpha_1$是复根，那么，通过$n \ge 3$的假设，由式\ref{5.5.11},我们能得到，$\Delta_1<\Delta_0$. 这样将导出矛盾\[{\Delta _1} = p(z') - p({\xi _1}) - (z' - {\xi _1})p'({\xi _1}) = p(z') < {\Delta _0} = p(z')\]因而，$\xi_1$一定是单根。因此$\xi_2<\xi_1
    
     <\alpha_1$,因此在第二种情况下，结论貌似也是对的。现在只剩下$y<\xi_1$这种情况了。如果$alpha_1
     
      0$并且$\xi_2<\alpha_1
      
       <\xi_1$,我们可以得到$p(y)<0,p'(y)>0.$,特别是$y$是适定的情况。进一步，因为$p(y)=(y-y')p'(y)$且$\Delta_0 \ge \Delta_1$,我们有\[{\Delta _0} - {\Delta _1} = p(y) + (z' - y)p'(y) = p'(y)(z' - y') \ge 0\]因此$z' \ge y'$,泰勒展开，最后得到\[p({\xi _1}) = 0 = p(y) + ({\xi _1} - y)p'(y) + \frac{1}{2}{({\xi _1} - y)^2}p''(\delta )\;\;\;y < \delta  < {\xi _1}\]进一步，因为当$x \ge \alpha_1$时，$p''(x) \ge 0$,且$p(y)=(y-y')p'(y)$和$p'(y)>0$\[0 \ge p(y) + ({\xi _1} - y)p'(y) = p'(y)({\xi _1} - y')\]因此$y' \ge \xi_1$为了完成证明，我们接着要证明，对于任意的$z>\xi_1$,有这样的结论\begin{equation}\label{5.5.12}y = y(z) > {\alpha _1}\end{equation}我们再次分为两种情况。$\xi_1>\alpha_1>\alpha_2$和$\xi_1=\alpha_1=\xi_2$.如果$\xi_1>\alpha_1>\alpha_2$，那么由\ref{5.5.12},在任何情况下\[{\xi _1} < z < {\xi _1} + ({\xi _1} - {\alpha _1})\]这是因为定理\ref{5.5.5}暗示着$z>z' \ge \xi_1$,因此由$y=y(z)$的定义，可得\[y = z' - (z - z') > {\xi _1} - ({\xi _1} - {\alpha _1}) = {\alpha _1}\]从而我们可以选择一个$z_0$使得$y(z_0)>\alpha_1$.假设存在一个$z_1>\xi_1$,使得$y(z_1) \le \alpha_1$,由连续函数的介值定理，存在一个$\overline z  \in [{z_0},{z_1}]$,使得$\overline y=y(\overline z)=\alpha_1$,从\ref{5.5.11},对于$z=\overline z$\[{\Delta _1} = p(\overline z ') - p(\overline y ) - (\overline z ' - \overline y )p'(\overline y ) = p(\overline z ') - p(\overline y ) \le {\Delta _0} = p(\overline z ')\]进而$p(\overline y)=p(alpha) \ge 0$。另一方面呢，由$\xi_1$是在我们的例子中是单根，导致$p(x)$变号，这是矛盾的，因此式\ref{5.5.12}必须对所有的$z>\xi_1$都要成立。如果$\xi_1=\alpha_1=\xi_2$,那么由假设$n \ge 3$,不失一般性，我们假定\[p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}\]进而\[z' = z - \frac{
   {p(z)}}{
   {p'(z)}} = z - \frac{z}{n}\frac{
    {1 + \frac{
    {
    {a_1}}}{z} +  \cdots  + \frac{
    {
    {a_n}}}{
    {
    {z^n}}}}}{
    {1 + \frac{
    {n - 1}}{n}\frac{
    {
    {a_1}}}{z} +  \cdots  + \frac{
    {
    {a_{n - 1}}}}{
    {n{z^{n - 1}}}}}} = z - \frac{z}{n}\left( {1 + O(\frac{1}{z})} \right)\]从而\[y = y(z) = z + 2(z' - z) = z - \frac{
   {2z}}{n}\left( {1 + O(\frac{1}{z})} \right) = z\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + O(1)\]因为$n \ge 3$,那么随着$z$的增大到正无穷，$y(z)$的值也无限增大。因此，我们也再次推断存在一个$z_0>\xi$,使得$y_0=y(z_0)>\alpha_1$.假如并不是对所有的$z>\xi_1$,式\ref{5.5.12}成立的话，那么我们就能像前面推导那样，存在一个$\overline z$,使得$y=y(z)=alpha_1$，然而在证明的前面部分，我们已经知道了$\overline y=\alpha_1=\xi_1=\xi_2$是不可能的。\end{proof}这个定理的实际意义我们是这样子说的。如果我们开始时就有初值$x_0>\xi_1$,那么由"双步法"\[{x_{k + 1}} = {x_k} - 2\frac{
   {p({x_k})}}{
   {p'({x_k})}}\]产生的值满足\[{x_0} \ge {x_1} \ge  \cdots  \ge {x_k} \ge {x_{k + 1}} \ge  \cdots  \ge {\xi _1}\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = {\xi _1}\]或者呢，存在一个初值$x_{k_0}:=y$,满足\[p({x_0})p(x{}_k) > 0\;\;\;0 \le k < {k_0}\]\[p({x_k})p({x_{
    {k_0}}}) < 0\]在这种情况下，所有的值$p_{x_k}$都是同号的。\[p({x_0})p(x{}_k) \ge 0\]$x_k$快速而直接地单调收敛到根$\xi_1$（肯定比直接用牛顿方法快啦)。第二种情况，\[{x_0} > {x_1} >  \cdots  > {x_{
    {k_0} - 1}} > {\xi _1} > y = {x_{
    {k_0}}} \ge {\alpha _1} \ge {\xi _2}\]使用$y_0:=y$牛顿方法子序列的新起点\[{y_{k + 1}} = {y_k} - \frac{
    {p({y_k})}}{
    {p'({y_k})}}\;\;\;k = 0,1, \ldots \]这样呢，也能够单调收敛\[{y_1} \ge {y_2} \ge  \cdots  \ge {\xi _1}\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {y_k} = {\xi _1}\]既然已经找到了多项式最大的根，进一步，我们当然是要找到多项式其他的根咯。以下的方法告诉我们可以“除去”已经得到的根$\xi_1$。也就是说，我可以这样形成一个$n-1$次多项式\[{p_1}(x): = \frac{
   {p(x)}}{
   {x - {\xi _1}}}\]这个过程称为"降次"。$p_1(x)$最大的根是$\xi_2$,也可以通过之前描述的方法来得到。这里的$\xi_1$,或者一个更好的值$y=x_{k_0}$ （通过第一次“过调”得到），都可以作为迭代的初值。以此类推，最后所有的根都可以被找到。当然，一般来说，“降次法”也不是十全十美的。因为舍入误差会带来$p_1(x)$一定程度上的磨损。实际上，用来代替$p_1(x)$的多项式有不同于$\xi_2,\xi_3,...,\xi_n$的根。没次使用“降次”都带来一定误差，累加起来，最后可能会产生大误差，乃至错误。当然，如果留心的话，“降次”也能保证数值上的稳定。除去一个根之后，降次后的多项式的系数\[{p_1}(x) = a_0'{x^{n - 1}} + a_1'{x^{n - 2}} +  \cdots  + a_{n - 1}'\]可以以顺序$a'_0,a'_1,...,a'_{n-1}$(前向降次)，或者以相反的顺序（逆向降次）。如果最小绝对值的根被除掉，那么前者是数值稳定的。反之，后者是数值稳定的。而混合使用确定系数的方法，对于绝对值不大不小的根是稳定的。详见 Peters 和 Wilkinson(1971)。相对于“降次法”的“零点删去法”部分翻译和例子不写。\end{document}复制代码